TP 1: Bases

Calculer, lorsque c’est possible, les produits de matrices suivants :

1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

2. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

3. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)

4. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 4 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & -1\\ 2 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}\)

5. \(\begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & -1\\ 2 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 4 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}\)

Quels sous-ensembles sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\)?

1. \(A = \{(\lambda, \lambda + \mu^3 , \lambda - \mu^3 ) | \lambda,\mu \in \mathbb{R}\}\)
2. \(B = \{(\lambda^2 , -\lambda^2 , 0) | \lambda ∈ \mathbb{R}\}\)
3. \(C = \{(\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ) \in \mathbb{R}^3 | \alpha_1 − 2\alpha_2 + 3\alpha_3 = \gamma\}\) pour un \(\gamma \in \mathbb{R}\).
4. \(D = \{(\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ) \in \mathbb{R}^3 | \alpha_2 ∈ \mathbb{Z}\}\)

1. Montrer que \(\{X+1, X+2, X^2+X\}\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Écrire le polynôme \(P = 2X^2+5X+2\) dans cette base.

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0,\dots, a_n\) des réels. Montrer que l’application :

\[f_n \colon \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}\] \[P \mapsto (P(a_0), \dots, P(a_n))\]

est linéaire.

2. Montrer que si pour tout \(0 \leq i < j \leq n\), \(a_i \neq a_j\), alors \(f\) est injective, c’est-à-dire que si \(f_n(P) = f_n(Q)\) alors \(P=Q\). On rappelle qu’un polynôme non nul de degré \(n\) a au plus \(n\) racines.

3. Écrire la matrice de \(f_2\) dans les bases canoniques de \(R_2[X]\) \(\{1,X,X^2\}\) et de \(\mathbb{R}^3\) \(\{ (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) \}\).

Un carré magique est un tableau de nombres réels taille \(n \times n\) telle que la somme des lignes, la sommes des colonnes et la sommes des diagonales sont toutes égales (on appelle cette quantité la valeur du carré). On note \(C_n\) l’ensemble des carrés magiques de taille \(n \times n\).

1. Montrez que \(C_n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_{n,n}\).
2. Quelle est la dimension de \(C_2\)? En donner une base.
3. (difficile) Trouver une base de \(C_3\).