TP 1: Bases

MIA

Calculer, lorsque c’est possible, les produits de matrices suivants :

  1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Correction

Pas possible, on ne peut pas multiplier une matrice \(3 \times 2\) par une matrice \(3 \times 3\).

  1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Correction \[\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 \\ 10 & 9 & 11 \\ 16 & 15& 17 \end{pmatrix}\]
  1. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)
Correction \[\begin{pmatrix} 5 & 7 & 9\\ 11 & 13 & 15\\ 8 & 10 & 12 \end{pmatrix}\]
  1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 4 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & -1\\ 2 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}\)
Correction \[\begin{pmatrix} 14& 6\\ 21&2 \end{pmatrix}\]
  1. \(\begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & -1\\ 2 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 4 & 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}\)
Correction \[\begin{pmatrix} 12 & 3 & -3 & -12 \\ -3 & 1 & 2 & 6 \\ 6 & 5 & 1 & 0 \\ 13 & 12 & 3 & 2 \end{pmatrix}\]

Quels sous-ensembles sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\)?

  1. \(A = \{(\lambda, \lambda + \mu^3 , \lambda - \mu^3 ) | \lambda,\mu \in \mathbb{R}\}\)
Correction

Un sous-espace vectoriel doit ĂȘtre stable par addition et multiplication par un scalaire. Dans ce cas, si on prend deux Ă©lĂ©ments de \(A\), ils sont de la forme \(e_1 = (\lambda_1, \lambda_1 + \mu_1^3 , \lambda_1 - \mu_1^3)\) et \(e_2 = (\lambda_2, \lambda_2 + \mu_2^3 , \lambda_2 - \mu_2^3)\) pour \(\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2 \in \mathbb{R}\).

On a alors \(e_1+e_2 = (\lambda_1+\lambda_2, \lambda_1+\lambda_2 + \mu_1^3+\mu_2^3 , \lambda_1+\lambda_2 - \mu_1^3-\mu_2^3)\). Si pose \(\lambda_0 = \lambda_1+\lambda_2\) et \(\mu_0 = (\mu_1^3+\mu_2^3)^{1 \over 3}\), on a \(e_1+e_2=(\lambda_0, \lambda_0 + \mu_0^3 , \lambda_0 - \mu_0^3)\) donc \(e_1+e_2 \in A\).

De mĂȘme pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(\alpha e_1 = (\alpha\lambda_1, \alpha\lambda_1 + \alpha\mu_1^3 , \alpha\lambda_1 - \alpha\mu_1^3)\) donc si on pose \(\lambda' = \alpha\lambda\) et \(\mu' = \alpha^{1\over 3} \mu\), on a bien \(\alpha e_1 = (\lambda', \lambda' + \mu'^3 , \lambda' - \mu'^3) \in A\) donc \(A\) est un sous-espace vectoriel.

  1. \(B = \{(\lambda^2 , -\lambda^2 , 0) | \lambda ∈ \mathbb{R}\}\)
Correction

Si \(v=(\alpha^2 , -\\alpha^2 , 0) \in B\) avec \(\alpha > 0\), alors on voit que \(-v \notin B\). En effet, la deuxiĂšme coordonnĂ©es de \(-v\) est \(\alpha^2 > 0\). On ne peut donc pas avoir (dans \(\mathbb{R}\)), un Ă©lĂ©ment \(\mu\) tel que \(\alpha^2 = -\mu^2\), ce n’est donc pas un sev de \(\mathbb{R}^3\).

  1. \(C = \{(\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ) \in \mathbb{R}^3 | \alpha_1 − 2\alpha_2 + 3\alpha_3 = \gamma\}\) pour un \(\gamma \in \mathbb{R}\).
Correction

Si \(C\) est un sev, alors \((0,0,0)\) doit forcĂ©ment appartenir Ă  \(C\) (puisque la multiplication d’un vecteur de \(C\) par \(0\) est \((0,0,0)\)). Donc si \(\gamma \neq 0\) alors \(C\) ne peut pas ĂȘtre un sev de \(\mathbb{R}^3\).

Dans tous les autres cas, c’est un sev vectoriel, on voit mĂȘme que c’est l’équation d’un plan de \(\mathbb{R}^3\) (on peut vĂ©rifier par le calcul les propriĂ©tĂ©s de stabilitĂ©s requises).

  1. \(D = \{(\alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ) \in \mathbb{R}^3 | \alpha_2 ∈ \mathbb{Z}\}\)
Correction

\(D\) n’est pas un sev puisque \((0,1,0) \in D\) mais \({1 \over 2} (0,1,0) = (0, {1 \over 2}, 0) \notin D\).

  1. Montrer que \(\{X+1, X+2, X^2+X\}\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
  2. Écrire le polynîme \(P = 2X^2+5X+2\) dans cette base.
Correction

  1. On note \(P_1 = X+1, P_2=X+2, P_3=X^2+X\). On a \(1 = P_2-P_1\), \(X = 2P_1-P_2\) et \(X^2 = P_3-X = P_3-(P_2-P_1)\).

  2. On a alors \[P = 2(P_3-X)+5X+2 = 2P_3 + 3X + 2 = 2P_3 + 3(2P_1-P_2)+P_2-P_1 = 2P_3 + 5P_1 - 2P_2\]

  1. Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0,\dots, a_n\) des rĂ©els. Montrer que l’application :

\[f_n \colon \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}\] \[P \mapsto (P(a_0), \dots, P(a_n))\]

est linéaire.

  1. Montrer que si pour tout \(0 \leq i < j \leq n\), \(a_i \neq a_j\), alors \(f\) est injective, c’est-Ă -dire que si \(f_n(P) = f_n(Q)\) alors \(P=Q\). On rappelle qu’un polynĂŽme non nul de degrĂ© \(n\) a au plus \(n\) racines.

  2. Écrire la matrice de \(f_2\) dans les bases canoniques de \(R_2[X]\) \(\{1,X,X^2\}\) et de \(\mathbb{R}^3\) \(\{ (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) \}\).

Correction

  1. On a bien \(\lambda P(a_i)+\beta = (\lambda P + \beta)(a_i)\) pour tout \(i \leq n\).

  2. Supposons que \(f_n(P) = f_n(Q)\) alors \(P(a_i) = Q(a_i)\) pour tout \(i \leq n\). Donc \((P-Q)(a_i) = 0\). Donc le polynĂŽme \(P-Q\) a \(n+1\) racines. Or c’est un polynĂŽme de degrĂ© \(n\) au plus, donc \(P-Q = 0\), soit \(P=Q\).

  3. L’image du polynîme \(1\) est \((1,1,1)\). L’image du polynîme \(X\) est \((a_0, a_1, a_2)\) et l’image de \(X^2\) est \((a_0^2, a_1^2, a_2^2)\). On a donc la matrice

\[\begin{pmatrix} 1 & a_0 & a_0^2 \\ 1 & a_1 & a_1^2 \\ 1 & a_2 & a_2^2 \end{pmatrix}\]

Un carrĂ© magique est un tableau de nombres rĂ©els taille \(n \times n\) telle que la somme des lignes, la sommes des colonnes et la sommes des diagonales sont toutes Ă©gales (on appelle cette quantitĂ© la valeur du carrĂ©). On note \(C_n\) l’ensemble des carrĂ©s magiques de taille \(n \times n\).

  1. Montrez que \(C_n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_{n,n}\).
  2. Quelle est la dimension de \(C_2\)? En donner une base.
  3. (difficile) Trouver une base de \(C_3\).
Correction

  1. On vérifie immédiatement que la somme de deux carrés magiques (dont les valeur valent respectivement \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\)) est encore un carré magique (de valeur \(\alpha_1+\alpha_2\) et que si \(M\) est un carré magique de valeur \(\alpha\) alors \(\lambda M\) est un carré magique de valeur \(\lambda \alpha\).

  2. Si \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) est un carré magique alors comme \(a+b = a+c = a+d\), on a immédiatement \(b=c=d\). Ensuite, \(a+b = c+d\) donne que \(a=c\). Donc \(a=b=c=d\). Tous les éléments de \(C_2\) sont donc de la forme \(\alpha \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), donc \(C_2\) est de dimension \(1\) et \(\{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\}\) est une base.

  3. Une façon un peu brutale de procĂ©der : on peut voir que les conditions du carrĂ© magique sont linĂ©aires. Par exemple: \(a_{1,1} + a_{2,2} + a_{3,3} = a_{1,1} + a_{1,2} + a_{1,3}\). On a donc un systĂšme avec \(7\) Ă©quations et \(9\) inconnues, qu’on peut alors rĂ©soudre et extraire une description de l’ensemble des solutions.

Une façon plus jolie est de remarquer la chose suivante. Supposons que \(M \in C_3\) et qu’on ne connaisse \(M\) que partiellement, ainsi:

\[ \begin{pmatrix} a & \cdot & b \\ c & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \end{pmatrix} \]

Alors il n’y a qu’une seule façon de complĂ©ter \(M\) en une matrice de \(C_3\). En effet, considĂ©rons une complĂ©tion:

\[ \begin{pmatrix} a & d_1 & b \\ c & d_2 & d_3 \\ d_4& d_5 & d_6 \end{pmatrix} \]

On a immĂ©diatement \(b+d_2+d_4 = a + c + d_4\) et donc \(d_2 = a+c-b\). De mĂȘme \(d_1+d_2+d_5 = a + d_1 + b\). En remplaçant \(d_2\), on a \(d_5 = 2b-c\). Maintenant \(d_4+d_5+d_6 = a+c+d_4\) soit \(d_6 = a-2b+2c\). On a reconstituĂ© la diagonale, on sait donc que la valeur de cette matrice est \(a+d_2+d_6 = 3(a-b+c)\). Cela suffit Ă  dĂ©duire \(d_1 = 2a-4b+3c\) et \(d_4=2a-3b+2c\). Soit

\[ \begin{pmatrix} a & 2a-4b+3c & b \\ c & a+c-b & 2a-2b+c \\ 2a-3b+2c & 2b-c & a-2b+2c \end{pmatrix} \]

Ainsi, l’application linĂ©aire qui associe Ă  \(M \in C_3\) les valeurs \((m_{1,1}, m_{1,3}, m_{2,1})\) est un isomorphisme donc \(C_3\) a dimension \(3\).