MIA
Calculez les déterminants suivants:
\(M_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)
\(M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\)
\(M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 2 & 4 & -1\\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)
\(M_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 3\\ -1 & 2 & -7 \end{pmatrix}\)
\(M_5 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4\\ 2 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)
\(M_6 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(M_7 = \begin{pmatrix} a & b & c & d\\ a & a & b & c\\ a & a & a & b\\ a & a & a & a \end{pmatrix}\)
\(M_8 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{pmatrix}\)
Calculez les valeurs et vecteurs propres des matrices suivantes :
Montrer qu’une matrice \(n \times n\) triangulaire ayant \(n\) valeurs distinctes sur sa diagonale est diagonalisable.
Résoudre les systèmes linéaires suivants :
\[\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ x+2y+z&=&1\\ 2x+y+z&=&0 \end{array}\right. \]
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ x-2y&=&1 \end{array}\right.\]
\[\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ 2x+y-z+t&=&-1 \end{array}\right. \]
\[\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ x+3y-z&=&11\\ 2x+5y-5z&=&13\\ x+4y+z&=&18 \end{array}\right.\]
Caractérisez les solutions du système linéaire suivant en faonction de \(m\) :
\[\left\{ \begin{array}{rcl} x+y-z&=&1\\ 3x+y-z&=&1\\ x-2y+2z&=&m\\ \end{array}\right.\]