\( \usepackage{hyperref} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Rp}{\mathbb{R_+}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^n} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \renewcommand{\to}{\rightarrow} \newcommand{\from}{\colon} \renewcommand{\Vec}{\mathsf{vec}} \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\rang}{\mathrm{rang}} \newcommand{\dpartial}[2]{{\partial #1 \over \partial #2}} \usepackage{amsthm} \newtheorem{theorem}{Théorème}[section] \newtheorem{definition}[theorem]{Définition} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme} \newtheorem{exercice}{Exercice}[section] \newtheorem{correction}{Correction} \newtheorem{example}{Exemple}[section] \newtheorem{observation}{Observation}[section] \AtBeginDocument{\renewcommand\proofname{Démonstration}} \)

TD 5 : Fonctions Ă  une variable

MIA

Calculez les dérivées suivantes :

  1. \(cos(x^2+2x)\)
  2. \(e^{1+\ln(x)}\)
  3. \(x^{1\over 3}+2\sin(x)+4\)
  4. \(1 \over 2x + 3\)

Montrez que :

  1. \({\sin(x) + \log(1+x) \over x} \simeq_0 2\)
  2. \(x^2 + \sin(x)\cos(x) + e^{1 \over x} = O(x^2)\).
  3. \(e^x-1-x = o(x^2)\).

On considère la fonction suivante :

\[ f(x) = \begin{cases} e^x \text{ si } x < 0 \\ 1+x \text{ si } x \geq 0 \end{cases} \]

  1. Montrez que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
  2. Montrez que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
  3. \(f\) est-elle dans \(\cC_2(\mathbb{R},\mathbb{R})\) ?

On considère la fonction \(x \mapsto 4x^2+2x+4\).

  1. Faites trois étapes de la méthodes de descente de gradient en partant de \(x_0 = 2\) et avec \(\alpha = 0.1\).
  2. Même question avec \(\alpha = 1/8\). Qu’observez-vous ?